SPLDV (SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL)

 

Nama : Meidianti Sherli Rahmi

Kelas  : X-MIPA 3

Absen : 18

Definisi dan Bentuk Umum SPLDV

Sistem persamaan linear dua variabel atau disingkat SPLDV adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan bentuk aljabar yang memiliki dua (misal x dan y) dan berpangkat satu, apabila digambarkan dalam grafik maka akan membentuk garis lurus. Dan karena hal ini lah, maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier. 

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):

ax + by = c

px + qy = r

dimana:

a, b, p, q disebut koefisien

x, y disebut variabel

c, r disebut konstanta

Ciri – Ciri SPLDV

• Menggunakan relai tanda sama dengan ( = )
• Memiliki dua variabel
• Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )

Langkah – langkah untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV :

• Mengganti setiap besaran yang terdapat dalam suatu masalah dengan variabel.
• Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum dari SPLDV.
• Mencari dari solusi model permasalahan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Untuk menyelesaikan cara menghitung variabel spldv (sistem persamaan linier dua) maka dapat diselesaikan dengan 4 metode berikut ini, yaitu sebagai berikut :

1. Metode Substitusi atau Metode Mengganti.

Metode Substitusi merupakan sebuah metode untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dua dengan metode substitusi, dengan cara satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.

Berikut ini langkah – langkah untuk menyelesaikan spldv menggunakan metode Substitusi :

• Ubahlah salah satu dari persamaan menjadi bentuk x = cy + d atau y = ax + b  a, b, c, dan d adalah nilai yang ada pada persamaan.
• Triknya yaitu, harus mencari dari 2 persamaan carilah salah satu persamaan yang termudah.
• Setelah mendapatkan persamaannya substitusi kan nilai x atau y.
• Selesaikan persamaan sehingga mendapatkan nilai x ataupun y.
• Dapatkan nilai variabel yang belum diketahui dengan hasil langkah sebelumnya.

2. Metode Eliminasi atau Metode Menghilangkan.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabel dalam suatu SPLDV adalah x dan y maka untuk menentukan nilai dari variabel x kita harus mengeliminasi variabel terlebih dahulu. Begitupun sebaliknya.

Langkah – langkah menyelesaikan spldv dengan metode eliminasi :

• Cara untuk menghilangkan salah satu peubahnya yaitu dengan cara memperhatikan tandanya, apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-) ] , maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan. Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan.

3. Metode Campuran (Eiminasi dan Substitusi) Atau Gabungan.

Metode campuran atau biasa disebut juga dengan metode gabungan, yaitu suatu cara atau metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan.

Karena pada masing – masing metode memiliki keunggulan masing – masing diantaranya :

• Metode Eliminasi mempunyai keunggulan baik di awal penyelesaian.
• Metode substitusi memiliki keunggulan baik diakhir penyelesaian.
• Maka dengan menggabungkan ke-2 metode ini akan mempermudah dalam meneyelasikan spldv.

4. Metode Grafik.

Metode grafik menentukan titik antara dua persamaan sehingga diperoleh himpunan dari persamaan linear dua variabel tersebut. Jika diperoleh persamaan dua garis yang saling sejajar, maka himpunannya adalah himpunan kosong. Sedangkan jika garisnya saling berhimpit maka jumlah penyelesaiannya tak berhingga. metode sistem persamaan linear dua variabel yang ke-empat ini adalah metode grafik.

Berikut ini langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik sebagai berikut :

A.Langka Pertama :

• Tentukan nilai koordinat titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-X dan juga sumbu-Y.
• Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius.

B. Langkah Kedua :

• Jika kedua garis pada grafik berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya memiliki satu anggota.
• Jika kedua garis sejajar, maka penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Maka DAPAT dikatakan Himpunan penyelesaiannya ialah Himpunan kosong, Dan DAPAT Ditulis ∅ .
• Jika kedua garis saling berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak terhingga.

Contoh Latihan Soal.

Soal 1.

Suatu hari di dalam kandang ternak milik Pak Adi terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki kambing dan kaki ayam di kandang tersebut adalah 32 ekor. Maka berapa jumlah hewan kambing dan ayam masing-masing, dari dalam kandang ternak milik Pak Adi?

Jawab :

Diketahui :

Kambing = x dan ayam = y

Jumlah satu ekor kaki kambing = 4

Jumlah satu ekor kaki ayam = 2

Ditanyakan :

Jumlah masing-masing hewan kambing dan ayam = ....?

 

Pembahasan :

Model matematika :

  x + y = 13     ⇒ Persamaan (1)

4x + 2y = 32 ⇒ Persamaan (2) 

 

1. Metode Subsitusi

Langkah 1.

Untuk mencari nilai x, maka cari nilai terlebih dahulu.

Ubah persamaan 1

x + y = 13   

x = 13 – y

 

Langkah 2.

Kemudian subtitusi nilai x ke dalam persamaan 2.

4x + 2y = 32 

4(13 – y) + 2y = 32

52 – 4 tahun + 2 tahun = 32  

– 2 tahun = 32 – 52                 

– 2y = – 20                 

y = – 20/ – 2                      

y = 10                      

Langkah 3.

Kemudian subtitusi nilai y ke dalam persamaan x.

x = 13 – y

x = 13 – 10

x = 3

Jadi, jumlah masing-masing hewan dalam kandang ternak milik Pak Adi adalah kambing = 3 ekor dan ayam = 10 ekor.

 

2. Metode Eliminasi.

  x + y   = 13   ⇒ Persamaan (1)

4x + 2y = 32  ⇒ Persamaan (2)

 

Langkah 1.

Persamaan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

x + y = 13     ⟺ koefisien y = 1

4x + 2y = 32 ⟺ koefisien y = 2

Sehingga :

  x + y   = 13  | x2 | 2x + 2y = 26

4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 - 

                                 – 2x = – 6

                                      x = – 6/ – 2

                                      x = 3

 

Langkah 2.

  x + y = 13   ⟺ koefisien x = 1

4x + 2y = 32 ⟺ koefisien x = 4

Sehingga :

  x + y   = 13  | x4 | 4x + 4y = 52

4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 - 

                                    2y = 20

                                      y = 20/2

                                      y = 10

Jadi, jumlah masing-masing hewan dalam kandang ternak milik Pak Adi adalah kambing = 3 ekor dan ayam = 10 ekor.

3. Metode Campuran.

  x + y   = 13   ⇒ Persamaan (1)

4x + 2y = 32  ⇒ Persamaan (2)

 

Langkah 1.

Persamaan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

  x + y   = 13 | x4 | 4x + 4y  = 52    

4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 - 

                                    2y = 20

                                      y = 20/2

                                      y = 10

 

Langkah 2.

Subtitusi nilai y = 10 ke salah satu persamaan :

x + y = 13

x + 10 = –13

x = 13 – 10

x = 3

Jadi, jumlah masing-masing hewan dalam kandang ternak milik Pak Adi adalah kambing = 3 ekor dan ayam = 10 ekor.

4. Metode Grafik.

  x + y   = 13  ⇒ Persamaan (1)

4x + 2y = 32  ⇒ Persamaan (2)

 

Pertama tentukan titik masing-masing persamaan pada sumbu-x dan sumbu-y.

Langkah 1.

Persamaan 1 :

A. Titik potong sumbu-x, syaratnya adalah y = 0

x + y = 13

⇒ x + 0 = 13 

⇒ x = 13 

Titik potong sumbu-x = (13, 0)

B. Titik potong sumbu-y, syaratnya adalah x = 0

x + y = 13

⇒  0 + y = 13 

⇒   y = 13

Titik potong sumbu-y = (0,13)

 

Persamaan 2 :

A. Titik potong sumbu-x, syaratnya adalah y = 0

4x + 2y = 32

⇒ 4x + 2 (0) = 32

⇒ 4x = 32  

⇒ x   = 8  

Titik potong sumbu-x = (8,0)

B. Titik potong sumbu-y, syaratnya adalah x = 0

4x + 2y = 32

⇒ 4 (0) + 2y = 32 

⇒ 2y = 32 

⇒ y = 16 

Titik potong sumbu-y = (0,16)

 

Langkah 2.

Contoh gambar grafik :

Jadi, titik potong dari gambar grafik tersebut adalah (3,10).

Soal 2.

Jenny dan Rose bekerja di pabrik tas. Jenny dapat meyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Rose dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Jenny dan Rose adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda. Maka tentukan jam kerja mereka masing-masing!.

Jawab :

Misalkan :

Jam kerja Jenny = x

Jam kerja Rose = y 

 

Diketahui :

Setiap 1 jam Jenny membuat 3 tas dan Rose 4 tas, dalam sehari mereka membuat 55 tas, maka:

3x + 4y = 55

Jumlah jam kerja Jenny dan Rose adalah 16 jam, maka:

x + y = 16

Ditanyakan :

Waktu jam kerja mereka masing-masing =…..?

 

Pembahasan :

Model matematika :

3x + 4y = 55 ⇒ Persamaan (1)

  x + y   = 16 ⇒ Persamaan (2)

1. Metode Subsitusi.

Langkah 1.

Untuk mencari nilai x, maka cari nilai terlebih dahulu.

dari Ubah persamaan 2. 

⇒ x + y = 16  

⇒ x = 16 - y

 

Langkah 2.

Kemudian subtitusi nilai x ke dalam persamaan 1, sehingga diperoleh :

3x + 4y = 55

⇒ 3 (16 - y) + 4y = 55

⇒ 48 - 3y + 4y = 55

⇒ y = 55-48

⇒ y = 7

 

Langkah 3.

Kemudian subtitusi nilai y ke dalam persamaan x.

x = 16 – y

⇒ x = 16-7

⇒ x = 9

Jadi, Jenny bekerja selama 9 jam dan Rose bekerja selama 7 jam dalam sehari.

2. Metode Eliminasi.

3x + 4y = 55 ⇒ Persamaan (1)

  x + y   = 16 ⇒ Persamaan (2)

 

Langkah 1.

Persamaan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

3x + 4y = 55 ⇒ koefisien y = 4

  x + y   = 16 ⇒ koefisien y = 1

Sehingga :

3x + 4y = 55 | x1 | 3x + 4y = 55

  x + y   = 16 | x4 | 4x + 4y = 64 –

                                      – x = –9

                                         x = 9

 

Langkah 2.

Persamaan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

3x + 4y = 55 ⇒ koefisien x = 3

  x + y   = 16 ⇒ koefisien x = 1

Sehingga :

3x + 4y = 55 | x1 | 3x + 4y = 55

  x + y   = 16 | x3 | 3x + 3y = 48 –

                                        y = 7                              

Jadi, Jenny bekerja selama 9 jam dan Rose bekerja selama 7 jam dalam sehari.

3. Metode Campuran.

3x + 4y = 55 ⇒ Persamaan (1)

  x + y   = 16 ⇒ Persamaan (2)

Langkah 1.

Persamaan eliminasi (1) dan (2) diperoleh :

3x + 4y = 55 | x1 | 3x + 4y = 55

  x + y   = 16 | x3 | 3x + 3y = 48 –

                                         y = 7

 

Langkah 2.

Subtitusi nilai y = 7 ke salah satu persamaan, sehingga diperoleh :

x + y = 16

x + 7 = 16

x = 16 – 7

x = 9

Jadi, Jenny bekerja selama 9 jam dan Rose bekerja selama 7 jam dalam sehari.

4. Metode Grafik.

3x + 4y = 55 ⇒ Persamaan (1)

  x + y   = 16 ⇒ Persamaan (2)

 

Pertama tentukan titik masing-masing persamaan pada sumbu-x dan sumbu-y.

Langkah 1.

Persamaan 1 :

A. Titik potong sumbu-x, syaratnya adalah y = 0

3x + 4y = 55

⇒ 3x + 4 (0) = 55

⇒ 3x = 55 

⇒   x = 55/3 atau 18 1/3 

Titik potong sumbu-x = (18 1/3, 0)

B. Titik potong sumbu-y, syaratnya adalah x = 0

3x + 4y = 55

⇒3 (0) + 4y = 55

⇒4y = 55

⇒ y  = 55/4 atau 13 3/3

Titik potong sumbu-y = (0,13 3/3)

 

Persamaan 2 :

A. Titik potong sumbu-x, syaratnya adalah y = 0

x + y = 16

x + 0 = 16

x = 16

Titik potong sumbu-x = (16,0)

B. Titik potong sumbu-y, syaratnya adalah x = 0

x + y = 16

0 + y = 16

y = 16

Titik potong sumbu-y = (0,16)

 

Langkah 2.

Contoh gambar grafik :

Jadi, titik potong dari gambar grafik tersebut adalah (9,7).

DAFTAR PUSTAKA :

1. https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-linear-dua-variabel-matematika-kelas-10/

2. Buku tulis dan buku paket SMP kelas 8 dan 9

3. https://edura.id/blog/matematika/sistem-persamaan-linear-dua-variabel/ 

4. https://rumusrumus.com/spldv/

5. https://www.yuksinau.id/sistem-persamaan-linear-dua-variabel/