SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama : Meidianti Sherli Rahmi

Kelas  : X-MIPA 3

Absen : 17

Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta

Definisi dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat (SPKK)

Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi saya akan membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

y = ax² + bx + c …… (bagian kuadrat pertama)
y = px² + qx + r …… (bagian kuadrat kedua)

Keterangan:
a, b, c, p, q, dan r = Bilangan real

Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat-kuadrat itu? Contoh sistem persamaan kuadrat-kuadrat pada umumnya dapat diselesaikan dengan cara tertentu. Berikut langkah-langkah dalam cara menyelesaikan SPKK tersebut yaitu:

• Melakukan substitusi pada persamaan kuadrat pertama menuju persamaan kuadrat kedua atau sebaliknya. Dengan begitu kita akan mendapatkan persamaan kuadrat baru.
• Setelah menyelesaikan persamaan tadi untuk memperoleh nilai x.
• Substitusikan nilai x pada persamaan kuadrat pertama atau kedua. Usahakan memilih persamaa kuadrat yang bentuknya sederhana sehingga lebih mudah pengerjaannya

y = ax² + bx + c
y = px² + qx + r
a, b, c, p, q, r bilangan real dengan a ≠ 0 dan p ≠ 0

Jika substitusikan persamaan kuadrat y = px² + qx + r ke persamaan kuadrat y = ax² + bx + c maka diperoleh
ax² + bx + c = px² + qx + r
ax² + bx + c - px² - qx - r = 0
ax² - px² + bx - qx + c -  r = 0
(a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0

Bentuk terakhir dari persamaan kuadrat hasil substitusi ((a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0) merupakan persamaan kuadrat dengan (a - p) ≠ 0. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah D = (b - q)2 - 4(a - p) (c - r) = 0

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu:

1. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau sistem persamaan mempunyai dua himpunan penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka kedua parabola bersinggungan atau sistem persamaan hanya mempunyai satu himpunan penyelesaian.
3. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan kosong ({ }).
4. Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
5. Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }.
6. Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Misalkan diketahui SPKK: y = ax² + bx + c dan y = px² + qx + r dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real. Diskriminan persamaan kuadratnya adalah D. Maka banyaknya himpunan penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut:  (1) Jika (a – p) = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian. (2) Jika (a – p) ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua himpunan penyelesaian. (3) Jika (a – p) ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian. (4) Jika (a – p) ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki himpunan penyelesaian.

Contoh Soal Dan Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x²

y = 2x² – 3x

Penyelesaian :

Langkah 1.

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua

y = 2x² – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x² = 2x²

⇒ 2x² – x² – 3x = 0

⇒ x² – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Langkah 2.

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x².

Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x²

⇒ y = (0)²

⇒ y = 0

Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x²

⇒ y = (3)²

⇒ y = 9

Kesimpulan :

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x² dengan parabola y = 2x² – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y = 5x² dan y = 6x² – 7x.

Penyelesaian :

Langkah 1.

Contoh sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:
⇒ 5x² = 6x² – 7x
⇒ 6x² – 5x² – 7x = 0
⇒ x² – 7x = 0
⇒ x(x – 7) = 0
⇒ x = 0 atau x = 7

Langkah 2.

Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y = 5x². Maka :
Untuk x = 0 → y = 5x²
⇒ y = 5(0)²
⇒ y = 0

Untuk x = 7 → y = 5x²
⇒ y = 5(7)²
⇒ y = 245

Kesimpulan :
Jadi himpunan penyelesaian SPKK dari persamaan y = 5x² dan y = 6x² – 7x.tersebut adalah Hp = {(0, 0), (7, 245)}.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9.

Penyelesaian :

Langkah 1.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = x² – 3 ke y = x² – 2x – 9. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
⇒ x² – 3 = x² – 2x – 9

⇒ x² – x² = - 2x – 9 + 3

⇒ 2x = -6

⇒ x = -3

Langkah 2.

Setelah itu x = -3 disubstitusikan ke y = x² – 3. Maka:
⇒ y = x² – 3
⇒ y = (-3)² – 3
⇒

Kesimpulan :
Jadi himpunan penyelesaian SPKK dari y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9. tersebut adalah Hp = {(-3, 6)}.

Contoh Soal 4:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3.

Penyelesaian :

Langkah 1.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
 ⇒ -4x² = x² + 4x + 3 
⇒ x² + 4x² + 4x + 3 = 0
⇒

Langkah 2.

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:
5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3
⇒ D = b² – 4ac
⇒ D = (4)² – 4(5)(3)
⇒ D = 16 – 60
⇒ D = -44

Kesimpulan :
Jadi himpunan penyelesaian SPKK dari persamaan y = -4x² dan y = x² + 4x + 3 adalah {∅} atau himpunan kosong karena D < 1.

Contoh Soal 5:

Penyelesaian :

Langkah 1.

Substitusikan persamaan y = x² -2x - 3 ke persamaan y = -x² -2x + 5
x² -2x - 3 = -x² -2x + 5
2x² -8 = 0
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
Langkah 2.

Untuk x = 2
y = x² - 2x - 3
y = (2)² -2 (2) - 3
y = 4 - 4 - 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x² - 2x - 3
y = (-2)² -2 (-2) - 3
y = 4 + 4 - 3
y = 5

Kesimpulan :
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan y = x² -2x - 3 dan y = -x² -2x + 5 adalah {(-2,5),(2,-3)}.

Contoh Soal 6:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x² – 1

y = x² – 2x – 3

Penyelesaian :

Langkah 1.

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x² – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x² – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x² – 1 = x² – 2x – 3

⇒ x² – x² = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Langkah 2.

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x² – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x² – 1

⇒ y = (–1)² – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Kesimpulan :

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x² – 1 dan parabola y = x² – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 7:

Penyelesaian :

Langkah 1.

⇒ y = y
⇒  (1 – a)x² – 6x – 6 = 0

Langkah 2.Dengan syarat :
⇒ D = b² – 4ac = 0
⇒  (–6)² – 4(1 – a)(–6) = 0
⇒ 36 + 24(1 – a) = 0
⇒ 36 + 24 – 24a = 0
⇒ 60 – 24a = 0
⇒ –24a = –60
⇒ a = 60/24
⇒ a = 5/2

Kesimpulan :

Jadi, untuk a ≠ 1, maka nila a agar sistem persamaan y = x² – x – 5 dan y = ax² + 5x + 1 memiliki satu anggota penyelesaian adalah a = 5/2.

Contoh Soal 8:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x²

y = x² + 2x + 1

Penyelesaian :

Langkah 1.

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x² ke bagian kuadrat yang kedua y = x² + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x² = x² + 2x + 1

⇒ 2x² + x² + 2x + 1 = 0

⇒ 3x² + 2x + 1 = 0

Langkah 2.

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b² – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)² – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Kesimpulan :

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x² dan y = x² + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini. 

Contoh Soal 9:

Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax² + 2x - 7 dan y = 3x² - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian :

Langkah 1.

y = ax² + 2x - 7
y = 3x² - 4x + 8
Substitusi y = ax² + 2x - 7 ke y = 3x² - 4x + 8 maka,
ax² + 2x - 7 = 3x² - 4x + 8
ax² + 2x - 7 - 3x² + 4x - 8 = 0
ax² - 3x² + 6x - 15 = 0
(a - 3)x² + 6x - 15 = 0

Langkah 2.
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
6² - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5

Kesimpulan :
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaan dari y = ax² + 2x - 7 dan y = 3x² - 4x + 8 himpunan kosong adalah a < 12/5.

Contoh Soal 10:

Misalkan diketahui SPKK berikut ini.

y = 3x² + m

y = x² – 2x – 8

Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

Pembahasan :

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut.

• Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
• Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
• Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

Penyelesaian :

Langkah 1.

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x² + m ke persamaan kuadrat y = x² – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ 3x² + m = x² – 2x – 8

⇒ 3x² – x² + 2x + 8 + m = 0

⇒ 2x² + 2x + (8 + m) = 0

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:

⇒ b² – 4ac = 0

⇒ (2)² – 4(2)(8 + m) = 0

⇒ 4 – 8(8 + m) = 0

⇒ 4 – 64 – 8m = 0

⇒ –60 – 8m = 0

⇒ 8m = –60

⇒ m = –60/8

⇒ m = –¹⁵/₂

⇒ m = –7,5

Dengan demikian nilai m adalah –7,5.

Langkah 2.

Masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

⇒ 2x² + 2x + (8 + m) = 0

⇒ 2x² + 2x + ((8 + (–7,5)) = 0

⇒ 2x² + 2x + 0,5 = 0

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2

⇒ 4x² + 4x + 1 = 0

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x

⇒ (2x + 1)² = 0

⇒ (2x + 1) = 0

⇒ 2x = −1

⇒ x = −¹/₂

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −¹/₂ ke persamaan y = x² – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x² – 2x – 8

⇒ y = (−¹/₂)² – 2(−¹/₂) – 8

⇒ y = ¹/₄ + 1 – 8

⇒ y = ¹/₄ –7

⇒ y = −²⁷/₄

Kesimpulan :

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK y = 3x² + m dan y = x² – 2x – 8 tersebut adalah {(−¹/₂, −²⁷/₄)}.

DAFTAR PUSTAKA :

1. https://www.defantri.com/2018/07/splk-spkk.htm

2. https://rpp.co.id/soal-sistem-persamaan-kuadrat-kuadrat-spkk/

3. https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html

4. https://www.yuksinau.id/sistem-persamaan-linier-kuadrat-dua-variabel/