FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Nama : Meidianti Sherli Rahmi

Kelas : X-MIPA 3

Absen :17

Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$ax^2 + bx + c = 0$

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta $a \neq 0$ .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

$y = ax^2 + bx + c$

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ adalah:

grafik fungsi kuadrat

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

$y = ax^2$

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh $f(x) = 2x^2$ , maka grafiknya adalah:

gambar grafik f(x) = 2x^2

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

$y = ax^2 + c$

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat $y = ax^2$ yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau $y_{puncak} = c$ . Sebagai contoh = $2x^2$ + 2, maka grafiknya adalah:

sumbu simetris dan titik puncak

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari $y = ax^2 + bx + c$ . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

$(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik $y = ax^2 + bx +c$ dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika $a> 0$ maka grafik terbuka ke atas, jika $a <$ maka grafik terbuka kebawah.

sifat grafik fungsi kuadrat kurva terbuka

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik $ax^2 + bx + c$ berada pada:

$x =-\frac{b}{2a}$

d. Titik potong sumbu y

Grafik $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

titik potong sumbu y

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

$ax^2 + bx + c$

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

Jika $D>0$ , grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika $D=0$ , grafik menyinggung sumbu x
Jika $D<0$ , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

titik potong sumbu x berdasarkan diskriminan

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik

Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

$y = ax^2 + bx + c$

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan $y = ax^2 + bx + c$ sebagai koefisien.

Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui

Jika titik potong sumbu x adalah $(x_1,0)$ dan $x_2,0$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui

Jika titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasan

1. Jika grafik $y = x^2 + ax + b$ mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

Gunakan rumus $(-\frac{b}{2a})$ sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

$-\frac{a}{2(1)} = 1$

$a = -2$

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan $y = x^2 + ax + b$ diperoleh:

$2 = (1)^2 + a(1) + b$

$1 = a+ b$

Dari persamaan baru, substitusikan nilai $a = -2$ ,maka:

$1 = a + b = -2 + b$

$b =3$

2. Jika fungsi $y = ax^2 + 6x + (a+1)$ mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

$-\frac{b}{2a} = 3$

$-\frac{6}{2a} = 3$

$a =-1$

Sehingga fungsi y menjadi:

$y = -x^2 + 6x$

Nilai maksimumnya:

$-(\frac{b^2-4ac}{4a}) = -(\frac{6^2 - 4(-1)(0)}{4(-1)}) = (\frac{36}{4}) = 9$

3. Tentukan grafik yang melintasi (-1, 3) dan titik minimumnya sama dengan puncak grafik $y = x^2 4x + 3$

Pembahasan:

Titik puncak $y = x^2 + 4x + 3$ adalah:

$(x_p, y_p) = [-\frac{b}{2a},-(\frac{b^2-4ac}{4a})] = [-\frac{4}{2},-(\frac{4^2 - 4(3)}{4})]$

$(x_p, y_p) = [-2, -(\frac{16 - 12}{4})] = (-2, -1)$

Substitusikan nilai $(-1,3)$ dan $(x_p,y_p)$ dalam persamaan:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$

$3 = a((-1)-(-2))^2 + (-1)$

$3 = a(1^2) + (-1)$

$a = 4$

Maka grafik fungsi kuadrat yang dicari adalah:

$y = a (x-x_p)^2 + y_p = 4(x+2)^2 - 1$

$y = 4(x^2 + 4x + 4) - 1 = 4x^2 + 16x + 16 - 1$

$y = 4x^2 + 16x + 15$

4. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Penyelesaian :

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:

x2 + 4x – 21 = 0

(x1 + 7) (x2 – 3) = 0

x1 = -7 dam x2 = 3

Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)

Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)

f(x) = x² + 4x – 21

f(0) = 0² + 4 . 0 – 21 = -21

Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)

Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah in.

Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadratnya sebagai berikut:

Fungsi Rasional

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x².

Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

soal grafik fungsi rasional dan penyelesaiannya

Tabel dan grafik di atas menunjukan beberapa hal yang menarik.

Yang pertama, grafik tersebut lolos pada uji garis vertikal. Yang berarti setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi.
Yang kedua, sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x = 0. Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh x anggota bilangan real kecuali 0.
Yang ketiga, fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya terletak di kuadran I. Sementara yang lainnya berada pada kuadran III.
Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol.

Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x pada saat x mendekati tak hingga.

Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.

Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

rasional dan grafiknya pdf

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

integral rasional

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
Pada saat x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

asimtot

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

Fungsi Irasional

Dalam bilangan real, bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b.

Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.Beberapa contoh bilangan dalam bentuk akar dan bentuk bilangan lainnya (misalnya konstanta) merupakan contoh dari bilangan irasional.

Beberapa contoh bilangan irasional yaitu bilangan √2, π, dan e.

Mengapa bilangan √2 merupakan bilangan irasional?

Jika dihitung dengan bantuan alat hitung, nilai dari √2 yaitu 1,414213562373095048801688724… yang mana bilangan desimal tersebut tidak berulang dan tak hingga banyaknya angka di belakang desimal (koma).

Namun, tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Misalnya √4 dan √9. Nilai dari √4 dan √9 yaitu 2 dan 3 yang merupakan bilangan bulat.

Bilangan π. Bilangan π = 3,14 atau π = 22/7 penggunaannya belum tepat karena nilai π yang sebenernya yaitu 3,141592653589793… .

Penggunaan nilai π sama dengan 3,14 atau 22/7 merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional.

Bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818…

Contoh Soal Bilangan Rasional & Irasional

1. Tentukan jenis bilangan berikut, apakah bilangan rasional atau irasional.

5/9
√81
π/2
√(9/16)

Penyelesaian :

5/9 = Bilangan Rasional

√81 = Bilangan Rasional

π/2 = Bilangan irasional

√(9/16) = Bilangan rasional

2. Sebutkan dua perbedaan bilangan rasional dan irasional.

Penyelesaian :

Bilangan rasional: berbentuk a/b dan bentuk desimal berhingga.
Bilangan irasional: biasanya berbentuk akar dan bentuk desimal tidak berhingga.

Kesimpulan

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b ≠ 0.

Contoh bilangan rasional yaitu 2/3, 5/7, 11/4 dan bilangan pecahan/rasional lainnya.

Bilangan irasional merupakan himpunan semua bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b.

Contoh bilangan irasional yaitu √2, π, dan e.

3. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut !

4. Gambarkan sektsa grafik fungsi dari f(x) = x²+2 !

Penyelesaian:

a = 1 > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

Titik balik berada pada (0, 2)

x = -b/2a = -(0)/2(1) = 0

y = x² +2 = (0)² +2 = 2

Buatlah tabel di bawah ini.

X	f(x) = y	(x, y)
3	11	(3, 11)
2	6	(2, 6)
1	3	(1, 3)
0	2	(0, 2)
-1	3	(-1, 3)
-2	6	(-2, 6)
-3	11	(-3, 11)

Gambarlah sketsa grafik fungsi dari titik-titik pada tabel !

DAFTAR PUSTAKA

https://www.studiobelajar.com/fungsi-kuadrat/
https://www.yuksinau.id/fungsi-rasional/
https://rumuspintar.com/bilangan-rasional-irasional/

Search This Blog

Meidianti Sherli Rahmi

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Fungsi Kuadrat

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Fungsi Irasional

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

SAYA SENANG SEKOLAH DI SMAN 63 JAKARTA