PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

 

Nama : Meidianti Sherli Rahmi

Kelas : X-MIPA 3

No Absen : 18

“Persamaan Dan Pertidaksamaan 

Nilai Mutlak”

A. Pengertian Nilai Mutlak

    Nilai mutlak atau bisa juga disebut dengan modulus merupakan nilai suatu bilangan real x, ditulis sebagai |x|, adalah nilai dari x tanpa disertai oleh tanda. Misalnya, nilai mutlak dari 2 sama dengan nilai mutlak dari -2 yaitu 2 atau secara umum dapat ditulis dengan |2| = |-2| = 2.

    Secara geometris, nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. yaitu jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Nilai Mutlak lambangnya menyatakan jarak, nilainya selalu positif atau 0 atau p│≥ 0 untuk setiap bilangan real p.

Definisi x yang berarti :

|x|= x jika x 0

|x|= -x jika x < 0

Secara umum dapat dinyatakan bahwa jarak x ke a dapat ditulis dengan notasi |xa| atau |ax|, seperti gambar berikut :

Sebagai contoh yaitu, jarak suatu bilangan ke titik 3 senilai 7 dapat digambarkan sebagai berikut: 

Jika diuraikan dalam persamaan aljabar |x-3|=7 dapat diselesaikan sebagai berikut:

Bahwa |x-3| adalah jarak bilangan x ke titik 3, dengan |x-3|=7 adalah jarak bilangan x ke titik 3 sepanjang 7 satuan.

Sifat-Sifat Nilai Mutlak : 

B. Persamaan Nilai Mutlak.

    Persamaan nilai mutlak dalam Matematika merupakan nilai mutlak dari angka yang bisa didefinisikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan bagaimana arahnya. Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

    “Persamaan” itu sendiri ditandai dengan menggunakan tanda sama dengan (=). Biasanya, sebuah soal persamaan nilai mutlak akan diminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut menggunakan aljabar dan sifat-sifat yang ada pada nilai mutlak.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan |x| = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a, seperti pada gambar berikut:

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai multak memiliki sifat tertentu, yakni:

Jika X merupakan bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = -k atau X = k.

 

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Perkalian persamaan nilai mutlak juga terdiri dari sifat tertentu, yaitu:

1. Jika A dan B adalah bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

2. Jika A= -1, makan menurut sifat tersebut |-B|= |-1||B|=|B|.

3. Umumnya, sifat ini berlaku untuk sembarang konstanta A.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak Lainnya, yaitu :

1. │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p,

2. │f(x) │= │g(x) │↔ f(x) = g(x) atau f(x) = – g(x), │f(x)│ = │g (x) │ ↔ │f(x)│2  = │g(x)│2 ↔

     [f(x) +g(x)] [f(x) – g(x)] = 0,                           

3. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c = 0, solusinya cek setiap interval yang sesuai definisi

   │f(x)│ dan │g(x)│.

4. a │f(x)│2 + b │f(x) │ + c = 0, dimisalkan f(x) = L dan persamaannya menjadi

    a L 2 + b L + c = 0 dan L1 dan L2 akar persamaan a L 2 + b L + c = 0 dan solusi

    persamaannya f(x) = L1 atau f(x) = L2.

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

    Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan pertidaksamaan nilai mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Contoh Soal Dasar Nilai Mutlak, Persamaan Nilai Mutlak, dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

A. Contoh Soal Dasar Nilai Mutlak.

Contoh 1

Tentukan nilai |3x−5| untuk x=3 dan untuk x=−2!

Jawaban :

Untuk x = 3

|3x−5|    = |3×(3)−5|

              = |9−5|

  = |4|

  = 4

Untuk x= −2

|3x−5|  = |3×(−2)−5|

= |−6−5|

= |−11|

= −(−11)

= 11

Contoh 2 :

Diketahui f(x) = |2x−1| dan g(x) = |6−x|. Berapakan nilai |f(2)−g(−4)| ?

Jawaban :

|f(2)+g(3)| 

= ||2(2)−1|−|6−(−4)||

= ||3|−|10||

= |3−10|

= |−7|

= −(−7)

Contoh 3 :

Berapa bentuk sederhana dari |5-2x| + |x+4| - |x-2| untuk x>10 ?

Jawaban :

untuk x>10, 5-2x<0 maka |5-2x| = -(5-2x)=2x-5

untuk x>10, x+4>0 maka |x+4| = x+4

untuk x>10, x-2>0 maka |x-2| = x-2

Jadi:

|5-2x| + |x+4| - |x-2|

= 2x-5+x+4-(x-2)

= 2x-5+x+4-x+2

= 2x+1

 

B. Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak.

Contoh 1 :

Himpunan penyelesaian |8−2x| + x – 5 = 0 adalah ....

Jawaban :

|8−2x| + x−5 = 0

|8−2x| = 5−x

Persamaan |8−2x| = 5 − x pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, tetapi dengan melakukan analisis nilai x dan menggunakan definisi nilai mutlak.

Pembuat nol nilai mutlak adalah x=4, maka dianalisis persamaan untuk interval x<4 dan x>4.

Untuk x<4

Untuk x < 4, 8−2x > 0 sehingga |8−2x| = 8−2x

|8−2x| = 5−x

 8−2x  = 5−x

- x       = −3

   x      = 3

Karena x=3 terletak pada interval x<4 maka x=3 merupakan penyelesaian.

Untuk x>4,8−2x<0 sehingga |8−2x| = −(8−2x) = 2x−8

|8−2x| = 5−x

2x−8   = 5−x

3x       = 13

  x       = 13/3

Karena x=13/3  terletak pada interval x>4, maka x=13/3 merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {3,13/3}

 

Contoh 2 :

Tentukanlah  himpunan penyelesaian |4x + 2| ≥ 6

Jawaban :

|4x + 2| ≥ 6 (4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6)

|4x + 2| ≥ 6 (4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4)

|4x + 2| ≥ 6 (x ≤ -2 atau x ≥ 1)

Maka, HP = (x ≤ -2 atau x ≥ 1)

 

Contoh 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari │x + 2│2  –  │x + 2│ – 2 = 0

Misalkan │x + 2│ = L

Maka persamaannya menjadi 

L2 – L – 2 = 0

(L – 2) (L + 1) = 0

(L – 2) = 0 dan (L + 1) = 0

L – 2  = 0 dan L + 1 = 0

L  = 2 dan L = – 1

Karena nilai mutlak selalu positif maka L = – 1 tidak digunakan

Yang digunakan L = 2 , karena 

L = │x + 2│ maka 2 = │x + 2│

2 = (x + 2) atau – 2 = (x + 2)

2 = x + 2 atau – 2 = x + 2

2 – 2 = x atau – 2 – 2 = x

0 = x atau – 4 = x                                   

Maka, Hp = {– 4, 0}.

C. Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlai.

 

Contoh 1:

Berapa interval nilai x

Jawaban :

|f(x)|≤a$\left|f(x)\right|\le a$ maka –a ≤ f(x) ≤ a$-a\le f(x)\le a$

|3x−6| ≤ 18

= −18 ≤ 3x−6≤18

= −18+6 ≤ 3x−6+6 ≤18+6

= −12 ≤ 3x ≤ 24

= 12⋅13≤ 3x⋅13 ≤ 24⋅1/3

= 4 ≤ x ≤8

Jadi, jawabannya adalah 4≤x≤8

Contoh 2 :

Berapa interval nilai x

Jawaban :

|f(x)| ≤ a$\left|f(x)\right|\le a$ maka –a ≤ f(x) ≤ a$-a\le f(x)\le a$

|5x+2| ≤ 4

= −4 ≤ 5x + 2 ≤ 4

= −4−2 ≤ 5x + 2−2 ≤ 4−2

= −6 ≤ 5x ≤ 2

= −6⋅1/5 ≤ 5x⋅1/5 ≤ 2⋅1/5

= −6/5 ≤ x ≤ 25

Jadi, jawaban yang sesuai adalah −6/5 ≤ x ≤ 2/5

Contoh 3 :

Berapa interval nilai x

Jawaban :

|f(x)|≤a|f(x)| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a−a ≤ f(x) ≤ a

|x−6|≤9

= −9≤x−6≤9

= −9+6≤x−6+6≤9+6

= −3≤x≤15

Jadi, jawaban yang sesuai adalah −3 ≤x≤15

DAFTAR PUSTAKA

 

1. https://www.m4th-lab.net/2018/06/konsep-dasar-dan-cara-menyelesaikan.html?m=1 

2. https://kumparan.com/berita-hari-ini/persamaan-nilai-mutlak-pengertian-sifat-dan-contoh-soal-1v4XxMkjPpw

3. https://www.dosenpendidikan.co.id/pertidaksamaan-nilai-mutlak/

4. https://www.dosenpendidikan.co.id/pertidaksamaan-nilai-mutlak/