SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 

Nama  : Meidianti Sherli Rahmi

Kelas  : X-MIPA 3

Absen : 17

Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta




Definisi dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Secara umum, SPLKDV adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel. Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.


1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.

Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut.

Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut.

Langkah 1:






Langkah 2:


Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu :

  • Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
  • Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
  • Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.




  • Jika, D>0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
  • Jika, D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola.
  • Jika, D < 0 maka garis dan parabola tidak berpotongan.






2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.




Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.






Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x serta y pada umumnya dinyatakan seperti berikut ini:



Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.

Cara Penyelesaian SPK :

  • Substitusikan persamaan yang satu ke dalam persamaan yang lainnya sehingga akan membentuk persamaan kuadrat.
  • Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga akan kita dapatkan himpunan penyelesaiannya, yaitu: {(x1,y1),(x2,y2)}.

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu :

  • Apabila D > 0, maka  kedua parabola akan berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
  • Apabila D = 0, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
  • Apabila D < 0, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.
  • Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
  • Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }.
  • Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV).

Soal 1.

Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x^2 – x – 2

Penyelesaian :

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x^2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x^2 – x – 2

⇒ x^2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x^2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Kesimpulan :

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.




Soal 2.

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK jika persamaannya berupa :

y = x² – 2 dan x – y = 4.

Penyelesaian :

Contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ini dapat diselesaikan dengan cara seperti berikut :

x – y = 4

y = x – 4

Nilai y = x – 4 kemudian disubstitusikan ke persamaan y = x² – 2. Untuk itu hasilnya akan seperti berikut:

x – 4 = x² – 2

x² – 2 – x + 4 = 0

x² – x + 2 = 0

Kemudian menggunakan cara diskriminan karena pemfaktorannya sulit dilakukan. Sehingga:

 x² – x + 2 = 0, dimana a = 1, b = -1 dan c = 2

D = b² – 4ac

D = (−1)² – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Kesimpulan :

Jadi himpunan penyelesaian SPLK ini tidak dimiliki sehingga dapat ditulis dalam bentuk { } karena nilai D < 1.


Soal 3.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.



Penyelesaian :

Substitusikan persamaan y = x^2 -2x - 3 ke persamaan y = -x^2 -2x + 5

x^2 -2x - 3 = -x^2 -2x + 5

<=> 2x^2 -8 = 0

<=> x^2 - 4 = 0

<=> (x - 2) (x + 2) = 0

<=> x = 2 atau x = -2

Untuk x = 2

y = x^2 - 2x - 3

y = (2)^2 -2 (2) - 3

y = 4 - 4 - 3

y = -3

Untuk x = -2

y = x^2 - 2x - 3

y = (-2)^2 -2 (-2) - 3

y = 4 + 4 - 3

y = 5

Kesimpulan :

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2,5),(2,-3)}


Soal 4.

Misalkan penyelesaian SPLK  



adalah (a,b) dan  (c,d). Maka berapakah nilai a + b + c + d =….?

Penyelesaian :

Diketahhui :



Persamaan 1 dapat ditulis menjadi y = x + 1. Substitusikan pada persamaan 2.







Jika x = -3, maka diperoleh y = -2

Jika x = 2, maka diperoleh y = 3

Kesimpulan :

Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah (-3,-2) dan (2,3) sehingga nilai

a + b + c + d = -3 + (-2) + 2 + 3 = 0.

Catatan: Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari a, b, c, d, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama.


Soal 5.

Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x^2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian :

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

Subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x^2 – 1 sehingga kita peroleh :

⇒ x – 3 = x^2 – 1

⇒ x – 3 = x^2 – 1

⇒ x^2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x^2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh :

D = b^2 – 4ac

D = (−1)^2 – 4 (1) (2)

D = 1 – 8

D = −7

Kesimpulan :

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.







DAFTAR PUSTAKA :

1. https://mathcyber1997.com/sistem-linear-kuadrat/

2. http://www.antotunggal.com/2021/03/sistem-persamaan-linear-kuadrat-dua-variabel-splkdv.html#

3. https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/08/sistem-persamaan-linear-dan-kuadrat-dua-variabel-splkdv/

4. https://micoarrafi.wordpress.com/2016/10/23/sistem-persamaan-linear-dan-kuadrat-dua-variabel/


Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Image
  Nama : Meidianti Sherli Rahmi Kelas  : X-MIPA 3 Absen :17 Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat  adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:   Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta  . Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau: Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat   dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola. Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewat...
Read more

SOAL PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Image
  Nama : Meidianti Sherli Rahmi Kelas : X-MIPA 3 Absen :17 Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta RASIONAL   Soal Persamaan Rasional    1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1/x-3 = 1/4  Penyelesaian : maka x = 7 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaa rasional 3x / x + 1 = 2/5 Penyelesaian : maka x = 2/13 3. persamaan rasional x / x + 3 = x + 1 / x - 2 tentukan nilai x yang memenuhi  Penyelesaian :  4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan  Penyelesaian :  5. Nilai x yang memenuhi persamaan dibawah ini adalah  Penyelesain :   Soal Pertidaksamaan Rasional  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional x + 5 / x - 2 < 0  Penyelesaian :   2. tidak terlihat tidak samaan rasional 4/x - 3 3/2x - 1 tentukanlah himpunan penyelesaiannya  Penyelesaia :     3. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan rasional x + 3 / x² - 4 > 0  Penyelesaian :  ...
Read more

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Image
Nama : Meidianti Sherli Rahmi Kelas  : X-MIPA 3 Absen : 17 Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta Definisi dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat (SPKK) Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi saya akan membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut. y = ax² + bx + c …… (bagian kuadrat pertama) y = px² + qx + r …… (bagian kuadrat kedua) Keterangan: a, b, c, p, q, dan r = Bilangan real Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat-kuadrat itu? Contoh sistem persamaan kuadrat-kuadrat pada umumnya dapat diselesaikan dengan cara tertentu. Berikut langkah-langkah dalam cara menyelesaikan SPKK tersebut yaitu: Melakukan substitusi pada persamaan kuadrat pertama ...
Read more